数学分析（下） - 多元函数积分

多元函数积分

含参量积分

含参量正常积分

定义

对于定义在区域

$$G=\{(x,y)\mid c(x)\le y\le d(x),a\le x\le b\}$$

上的二元函数，其中 $c(x),d(x)$ 为定义在 $[a,b]$ 上的连续函数，

$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy,x\in [a,b],$$

称为定义在 $[a,b]$ 上含参量 $x$ 的正常积分，简称含参量积分。

连续性

若二元函数 $f(x,y)$ 在区域

$$G=\{(x,y)\mid c(x)\le y\le d(x),a\le x\le b\}$$

上连续，其中 $c(x),d(x)$ 为定义在 $[a,b]$ 上的连续函数，则函数

$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$

在 $[a,b]$ 上连续。

可微性

若 $f(x,y)$ 与 $f_x(x,y)$ 在区域

$$R=[a,b]\times [p,q]$$

上连续，且 $c(x),d(x)$ 为定义在 $[a,b]$ 上且其值含于 $[p,q]$ 内的可微函数，则函数

$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$

在 $[a,b]$ 上可微，且有

$$F^{\prime }(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}{f}_x(x,y)dy+f(x,d(x))d^{\prime }(x)-f(x,c(x))c^{\prime }(x).$$

可积性

若 $f(x,y)$ 在矩形区域

$$R=[a,b]\times [c,d]$$

上连续，则 $\phi (x)$ 和 $\psi (y)$ 分别在 $[a,b]$、$[c,d]$ 上可积，即存在两种求积顺序不同的积分：

$${\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy,{\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx,$$

且在 $f(x,y)$ 连续的前提下，这两个积分相等。

含参量反常积分

定义

设函数 $f(x,y)$ 在无界区域

$$R=\{(x,y)\mid x\in I,c\le y<\mathrm{\infty }\}$$

上，对于每一个固定的 $x\in I$，反常积分

$${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$$

均收敛，则其值作为 $x$ 的函数，

$$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy,x\in I,$$

称为定义在 $I$ 上的含参量 $x$ 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分。

一致收敛及其判别

定义

若含参量反常积分 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 与函数 $\mathrm{\Phi }(x)$ 对于任给的正数 $ϵ$，总存在某一实数 $N>c$ 使得当 $M>N$ 时，对于一切 $x\in I$ 都有

$$|{\int }_c^{M}f(x,y)dy-\mathrm{\Phi }(x)|<ϵ,$$

即

$$|{\int }_M^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy|<ϵ,$$

则称该含参量反常积分在 $I$ 上一致收敛于 $\mathrm{\Phi }(x)$。

内闭一致收敛

若对于任一区间 $[a,b]\subset I$，含参量反常积分 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，则称其在 $I$ 上内闭一致收敛。

一致收敛的柯西准则

含参量反常积分 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛的充要条件为：对于任给的正数 $ϵ$，总存在一个实数 $M>c$ 使得当 $A_1,A_2>M$ 时，对于一切 $x\in I$ 都有

$$|{\int }_{A_2}^{A_1}f(x,y)dy|<ϵ.$$

一致收敛定理 1

含参量反常积分 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛的充要条件是

$$F(A)=\underset{x\in I}{sup}|{\int }_A^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy|,\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(A)=0.$$

一致收敛定理 2

含参量反常积分 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛的充要条件是：对于任一趋于 $+\mathrm{\infty }$ 的递增数列 $\{A_n\}$（$A_1=c$），函数项级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)dy=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$$

在 $I$ 上一致收敛。

魏尔斯特拉斯 $M$ 判别法

设存在函数 $g(y)$ 使得

$$|f(x,y)|\le g(y),(x,y)\in I\times [c,+\mathrm{\infty }).$$

若 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}g(y)dy$ 收敛，则 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛。

狄利克雷判别法

若满足：

1. 对于一切实数 $N>c$，含参量正常积分

   $${\int }_c^{N}f(x,y)dy$$

   对参量 $x$ 在 $I$ 上一致有界，即存在正数 $M$，使得对于一切 $N>c$ 及一切 $x\in I$ 有

   $$|{\int }_c^{N}f(x,y)dy|\le M;$$

2. 对于每一个 $x\in I$，函数 $g(x,y)$ 关于 $y$ 为单调函数，且当 $y\to +\mathrm{\infty }$ 时，对参量 $x$ 而言 $g(x,y)$ 一致收敛于 $0$；

则积分

$${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)g(x,y)dy$$

在 $I$ 上一致收敛。

阿贝尔判别法

若满足：

1. ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ 在 $I$ 上一致收敛；

2. 对每一个 $x\in I$，函数 $g(x,y)$ 关于 $y$ 为单调函数，且对参量 $x$ 而言 $g(x,y)$ 在 $I$ 上一致有界；

则积分

$${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,y)g(x,y)dy$$

在 $I$ 上一致收敛。

含参量反常积分的性质

在一定条件下，无穷积分运算可以与其他正常积分、无穷积分、极限运算、求导运算交换。

曲线积分

给定参数方程

$$L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ],$$

一型曲线积分

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{{\phi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}dt.$$

二型曲线积分

$$\begin{array}{rl}{\int }_L[P(x,y)dx+Q(x,y)dy]& ={\int }_{\alpha }^{\beta }[P(\phi (t),\psi (t)){\phi }^{\prime }(t)+Q(\phi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)]dt.\end{array}$$

二重积分

直角坐标系

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy={\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx.$$

格林公式

$$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma ={\oint }_L(Pdx+Qdy).$$

利用格林公式还可得平面区域的面积公式：

$$S_D=\frac{1}{2}{\oint }_L(xdy-ydx).$$

曲线积分的路线无关性

对于单连通区域，若函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 内连续，则下列条件等价：

1. $${\oint }_L(Pdx+Qdy)=0;$$
2. $${\int }_L(Pdx+Qdy)\text{与路径无关，仅与 }L\text{ 的起点和终点有关};$$
3. $$\mathrm{在}D\mathrm{内}\mathrm{存}\mathrm{在}u(x,y)\mathrm{使}\mathrm{得}du=Pdx+Qdy;$$
4. $$\mathrm{在}D\mathrm{内}\mathrm{处}\mathrm{处}\mathrm{成}\mathrm{立}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$

全微分的原函数

全微分方程的原函数可以表示为

$$\begin{array}{rl}u(x,y)& ={\int }_{x_0}^{x}P(s,y_0)ds+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,t)dt\\ & ={\int }_{x_0}^{x}P(s,y)ds+{\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,t)dt.\end{array}$$

变量变换

对于二重积分

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dA,$$

变量替换步骤如下：

1. 选择变换函数
   定义新的变量

   $$u=g(x,y),v=h(x,y),$$

   并解出 $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$。

2. 计算变换的雅可比行列式

   $$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial x}{\partial v}}\\ {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial v}}\end{array}\right|.$$

3. 确定新变量 $(u,v)$ 对应的新区域 $D^{\prime }$。

4. 替换积分
   变换为

   $$\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv.$$

极坐标变换

设变换

$$T:\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta ,\\ y=br\sin \theta ,\end{array}0\le r<+\mathrm{\infty },0\le \theta \le 2\pi .$$

则有：

$$\begin{array}{rl}\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy& =\underset{D^{\prime }}{\iint }f(ar\cos \theta ,br\sin \theta )abrdrd\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(ar\cos \theta ,br\sin \theta )abrdr\\ & ={\int }_{r_1}^{r_2}abrdr{\int }_{{\theta }_1(r)}^{{\theta }_2(r)}f(ar\cos \theta ,br\sin \theta )d\theta .\end{array}$$

三重积分

基本计算

$$\underset{E}{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_a^b\left({\int }_c^d({\int }_e^{f}f(x,y,z)dz)dy\right)dx.$$

坐标变换

变换的雅可比行列式为

$$J(u,v,w)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial u}{\partial z}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial x}& \frac{\partial w}{\partial y}& \frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right|.$$

柱坐标变换

令

$$T:\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta ,\\ z=z,\end{array}0\le r<+\mathrm{\infty },0\le \theta \le 2\pi ,-\mathrm{\infty }<z<+\mathrm{\infty }.$$

则雅可比行列式为

$$J(r,\theta ,z)=r.$$

球坐标变换

令

$$T:\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta ,\\ y=r\sin \phi \sin \theta ,\\ z=r\cos \phi ,\end{array}0\le r<+\mathrm{\infty },0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi .$$

则雅可比行列式为

$$J(r,\theta ,\phi )=r^2\sin \phi .$$

曲面积分

第一型曲面积分

一般计算

对于曲面 $S$ 表示为

$$z=z(x,y),(x,y)\in D,$$

有

$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy.$$

参量形式曲面

设曲面 $S$ 的参数方程为

$$S:\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\\ z=z(u,v),\end{array}(u,v)\in D.$$

定义

$$\begin{array}{rl}E& =x_u^2+y_u^2+z_u^2,\\ F& =x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v,\\ G& =x_v^2+y_v^2+z_v^2,\end{array}$$

则有

$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv.$$

注意： 要求 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$、$\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}$、$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}$ 至少有一个不为零。

第二型曲面积分

一般计算

对于曲面 $S$ 表示为

$$z=z(x,y),(x,y)\in D,$$

有

$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }f(x,y,z(x,y))dxdy.$$

参量形式曲面

设曲面 $S$ 的参数方程为

$$S:\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\\ z=z(u,v),\end{array}(u,v)\in D.$$

则有

$$\begin{array}{rl}\underset{S}{\iint }Pdydz& =\pm \underset{D}{\iint }P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv,\\ \underset{S}{\iint }Qdzdx& =\pm \underset{D}{\iint }Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv,\\ \underset{S}{\iint }Rdxdy& =\pm \underset{D}{\iint }R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv.\end{array}$$

正负号由法向量（例如 $(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)})$）对应 $S$ 的内外侧决定。

注意： 要求 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$、$\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}$、$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}$ 至少有一个不为零。

高斯公式

注意：由于我的渲染引擎有问题，导致二重曲线积分无法正常渲染，此处的两个曲线积分号均为二重曲线积分号

设空间区域 $V$ 由封闭曲面 $S$ 围成，且 $P,Q,R$ 在 $V$ 上连续，则

$$\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz={\oint }_S(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy).$$

常用于化简封闭曲面二重积分。

令 $P=x,Q=y,R=z$，则有封闭空间区域的体积公式：

$$\mathrm{\Delta }V=\frac{1}{3}\underset{S}{\oint }(xdydz+ydzdx+zdxdy).$$

斯托克斯公式

斯托克斯公式写为

$$\begin{array}{rl}& \underset{S}{\iint }[(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy]\\ =& {\oint }_L(Pdx+Qdy+Rdz).\end{array}$$

其中 $S$ 的方向以及 $L$ 的方向由右手定则决定。

参考文献

• 《数学分析》华东师大第五版（下册）