数学分析（下） - 级数

可以先看看这篇文章打一下基础： 数学分析基础

级数

数项级数

级数的敛散性

• 数项级数
  对于数列 $\{u_n\}$，${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i}$ 称为数项级数。

• 部分和
  ${\displaystyle S_n=\sum _{i=1}^n{u}_i}$ 称为数项级数的第 $n$ 个部分和，简称部分和。

• 收敛与和
  若

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S,$$

  则称数项级数收敛，且 $S$ 为级数的和。

级数收敛的柯西准则

数项级数收敛的充要条件为：
任给正数 $ϵ$，总存在正整数 $N$，使得当 $m>N$ 时，对任一正整数 $p$，都有

$$|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{m+p}|<ϵ.$$

• 推论：级数收敛的必要条件为$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0.$$

正项级数

比较原则

对于两个正项级数 $\{u_n\}$ 与 $\{v_n\}$，若存在某正整数 $N$ 使得对一切 $n>N$ 有

$$u_n\le v_n,$$

则

1. 若级数 ${\displaystyle \sum v_n}$ 收敛，则级数 ${\displaystyle \sum u_n}$ 也收敛；
2. 若级数 ${\displaystyle \sum u_n}$ 发散，则级数 ${\displaystyle \sum v_n}$ 也发散。

比较原则的推论

若

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l,$$

则

1. 当 $0<l<+\mathrm{\infty }$ 时，两级数同敛散；
2. 当 $l=0$ 或 $l=+\mathrm{\infty }$ 时，${\displaystyle \sum v_n}$ 的敛散情况决定 ${\displaystyle \sum u_n}$ 的敛散性。

比式判别法和根式判别法

• 比式判别法：

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q.$$
  1. 当 $q<1$ 时，级数收敛；
  2. 当 $q>1$ 或 $q=+\mathrm{\infty }$ 时，级数发散；
  3. 当 $q=1$ 时，判别失败。

• 根式判别法：

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=l.$$
  1. 当 $l<1$ 时，级数收敛；
  2. 当 $l>1$ 时，级数发散；
  3. 当 $l=1$ 时，无法判断。

一般项级数

交错级数

莱布尼茨判别法

若数列 $\{u_n\}$ 单调递减且

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0,$$

则交错级数 ${\displaystyle \sum (-1{)}^n{u}_n}$ 收敛。

绝对收敛

若

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\left|u_i\right|$$

收敛，则称 ${\displaystyle \sum u_n}$ 为绝对收敛级数。

• 绝对收敛级数必定收敛；
• 收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛级数。

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

对于数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$：

1. 若 $\{a_n\}$ 为单调有界数列，且级数 ${\displaystyle \sum b_n}$ 收敛，则级数 ${\displaystyle \sum (a_n{b}_n)}$ 收敛；
2. 若 $\{a_n\}$ 单调递减且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$，且 $\{b_n\}$ 的部分和 $\{S_n\}$ 有界，则级数 ${\displaystyle \sum (a_n{b}_n)}$ 收敛。

函数项级数

• 函数列
  对于每一个 $n$ 都有对应的函数 $f_n$，称这样的序列为函数列。

• 收敛域
  如果

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x),x\in D,$$

  则 $D$ 称为函数列 $\{f_n(x)\}$ 的收敛域。

函数列的一致收敛性

一致收敛的定义

设函数列 $\{f_n(x)\}$ 与函数 $f(x)$ 定义在同一集合 $D$ 上，
若对任给 $ϵ>0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，对一切 $x\in D$ 有

$$|f_n(x)-f(x)|<ϵ,$$

则称 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f$，记作

$$f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\to \mathrm{\infty }),x\in D.$$

内闭一致收敛

若对任一闭区间 $[a,b]\subset I$，$\{f_n\}$ 在该区间上一致收敛于 $f$，则称 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛于 $f$。

一致收敛的柯西准则

函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是：
对任给 $ϵ>0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n,m>N$ 时，对一切 $x\in D$ 有

$$|f_n(x)-f_m(x)|<ϵ.$$

一致收敛定理

函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{x\in D}{sup}|f_n(x)-f(x)|=0.$$

（不一致收敛的充要条件则是存在一列 $x_n\in D$ 使得 $|f_n(x_n)-f(x_n)|$ 不收敛于 0。）

函数项级数

定义

对于函数列 $\{u_n(x)\}$，级数

$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)+\cdots ,x\in E,$$

称为定义在 $E$ 上的函数项级数，记作 ${\displaystyle \sum u_n(x)}$。
其部分和函数定义为

$$S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x),$$

若

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x)=S(x)\text{对 }x\in D\text{ 成立},$$

则 $D$ 称为该级数的收敛域。
因此，函数项级数的收敛性即等价于其部分和函数列的收敛性。

函数项级数的一致收敛

若函数项级数的部分和函数列在 $D$ 上一致收敛，则称该函数项级数在 $D$ 上一致收敛。
若在某闭区间上一致收敛，则称为该区间上的内闭一致收敛。

一致收敛的柯西准则

函数项级数 ${\displaystyle \sum u_n(x)}$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件为：
任给 $ϵ>0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，对一切 $x\in D$ 以及任一正整数 $p\ge 2$ 有

$$|S_{n+p}(x)-S_n(x)|<ϵ.$$

（当 $p=1$ 时，该条件仅为必要条件。）
推论： 若级数在 $D$ 上一致收敛，则必有其各项 $u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛于 0。

一致收敛定理

函数项级数 ${\displaystyle \sum u_n(x)}$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{x\in D}{sup}|S_n(x)-S(x)|=0.$$

魏尔斯特拉斯 $M$ 判别法

设函数项级数 ${\displaystyle \sum u_n(x)}$ 定义在 $D$ 上，且存在正项级数 ${\displaystyle \sum M_n}$ 收敛，满足对一切 $x\in D$ 有

$$|u_n(x)|\le M_n,n=1,2,\dots ,$$

则 ${\displaystyle \sum u_n(x)}$ 在 $D$ 上绝对收敛，从而收敛。

阿贝尔判别法

若满足下列条件：

1. ${\displaystyle \sum u_n(x)}$ 在区间 $I$ 上一致收敛；
2. 对每个 $x\in I$，数列 $\{v_n(x)\}$ 单调；
3. 数列 $\{v_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致有界；

则级数 ${\displaystyle \sum u_n(x)v_n(x)}$ 收敛。

狄利克雷判别法

若满足：

1. ${\displaystyle \{S_n(x)\}}$（即 ${\displaystyle \sum u_n(x)}$ 的部分和函数列）在 $I$ 上一致有界；
2. 对每个 $x\in I$，数列 $\{v_n(x)\}$ 单调；
3. 数列 $\{v_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 0；

则级数 ${\displaystyle \sum u_n(x)v_n(x)}$ 收敛。

一致函数列、级数与交换运算

在一定条件下，求和可以与极限、积分、求导等运算交换，这里不再赘述。

幂级数

幂级数的定义

形如

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$$

的函数项级数称为幂级数。（若取 $x_0=0$，则称为麦克劳林级数。）

收敛区间与收敛半径

幂级数的收敛域是以 $x_0$ 为中心的区间。设区间长度为 $2R$，则 $R$ 称为幂级数的收敛半径，区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 称为收敛区间。
在 $x=x_0\pm R$ 处，幂级数可能收敛也可能发散。

收敛半径的求解

常用的方法有根判别法和比判别法。

• 根判别法：

  $$\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}.$$

  则：

  1. 若 $0<\rho <+\mathrm{\infty }$，则 $R=\frac{1}{\rho }$；
  2. 若 $\rho =0$，则 $R=+\mathrm{\infty }$；
  3. 若 $\rho =+\mathrm{\infty }$，则 $R=0$.

• 比判别法：
  若

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\rho ,$$

  则同样有 $R=\frac{1}{\rho }$（当该极限存在时）。

一致收敛性

幂级数在收敛区间内的任一闭区间上均一致收敛。

幂级数展开

泰勒级数

对于在点 $x_0$ 可任意求导的函数 $f$，其泰勒级数为

$$f(x_0)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$

泰勒级数的收敛

设 $f$ 在点 $x_0$ 有任意阶导数，则 $f$ 在区间 $(x_0-r,x_0+r)$ 上等于其泰勒级数的充要条件是：
对任一满足 $|x-x_0|<r$ 的 $x$，

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_n(x)=0,$$

其中余项 $R_n(x)$ 有多种表示形式，如：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},x_0<\xi <x,$$

或

$$R_n(x)=\frac{1}{n!}{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^{n}dt,$$

或

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}(1-\theta {)}^n{x}^{n+1},0\le \theta \le 1.$$

参考文献

• 《数学分析》华东师大第五版（下册）