数学分析（下） - 多元函数微分

多元函数微分

二元函数的极限

定义

• 重极限：
  自变量 $x,y$ 同时 以任何方式趋近于 $x_0,y_0$，表示为

  $$L=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)$$

• 累次极限：
  自变量 $x,y$ 依一定的先后顺序 相继趋近于 $x_0,y_0$，
  以先对 $x\to x_0$ 后对 $y\to y_0$ 的累次极限为例

  $$K=\underset{y\to y_0}{lim}\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)$$

定理

• 若两种累次极限和重极限均存在，则三者相等
• 若两种累次极限存在但是不相等，则重极限必不存在

二元函数的连续性

• 连续与间断点
  $f$ 关于 $D$ 在 $P_0$ 连续 $⟺$ ${\displaystyle \underset{P\to P_0}{lim}f(P)=f(P_0)}$

  • 若 $P_0$ 是 $D$ 的聚点，而上式不成立，则 $P_0$ 称为 间断点
  • 若左边的极限存在而不等于 $f(P_0)$ 则称为 可去间断点

• 全增量与偏增量
  对于 $P_0(x_0,y_0),P(x,y)\in D$，设 $\mathrm{\Delta }x=x-x_0,\mathrm{\Delta }y=y-y_0$，
  称

  $$\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$$

  为 $f$ 在 $P_0$ 的 全增量。

  • $f$ 关于 $D$ 在 $P_0$ 连续 $⟺{\displaystyle \underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}\mathrm{\Delta }z=0}$
  • 在全增量中取 $\mathrm{\Delta }x=0$ 或 $\mathrm{\Delta }y=0$，相应的函数增量称为 偏增量
  • 全增量极限为零则偏增量极限也为零（反之不一定）

• 有界闭域上连续函数的性质

  • 有界性与最大最小值定理
    若 $f$ 在有界闭域上连续，则在该区域内有界且能取得最大最小值

  • 一致连续性定理
    若 $f$ 在有界闭域上连续，则 $f$ 在该区域上 一致连续，即对任何 $ϵ>0$，总存在 $\delta (ϵ)$，使得对一切点 $P,Q$，只要 $\rho (P,Q)<\delta$ 就有 $|f(P)-f(Q)|<ϵ$

  • 介值性定理
    若 $f$ 在有界闭域上连续，且 $P_1,P_2\in D$ 满足 $f(P_1)<f(P_2)$，
    则对于任何满足 $f(P_1)<\mu <f(P_2)$ 的实数 $\mu$，必存在点 $P_0\in D$ 使得 $f(P_0)=\mu$

多元函数微分学

全微分

若 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的全增量 $\mathrm{\Delta }z$ 可以表示为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }z& =f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\\ & =A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho ),\end{array}$$

其中 $A,B$ 是仅与 $P_0$ 有关的常数，$\rho =\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$，
$o(\rho )$ 表示比 $\rho$ 高阶的无穷小量，则称 $f$ 在 $P_0$ 可微，
称线性函数

$$A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$

为函数 $f$ 在点 $P_0$ 的 全微分，记作

$$dz{|}_{P_0}=df(x_0,y_0)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y.$$

• 当 $|\mathrm{\Delta }x|,|\mathrm{\Delta }y|$ 足够小时，全微分可作为全增量的近似，即$$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0).$$

可微性条件

• 可微的必要条件：
  若 $f$ 在区域 $D$ 上每一点都可微，则 $f$ 在 $D$ 上的全微分为

  $$df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy.$$

• 可微的充分条件：
  若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在，且 $f_x,f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f$ 在该点可微。
  注： 这是充分条件，不能由偏导数的不连续推出函数不可微。
  若函数在某点处的偏导数均连续，则称该函数在该点上 连续可微。

• 中值公式：
  若函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在偏导数，则对于该邻域内的任一点 $(x,y)$，存在

  $$\xi =x_0+{\theta }_1(x-x_0),\eta =y_0+{\theta }_2(y-y_0),0<{\theta }_1,{\theta }_2<1,$$

  使得

  $$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi ,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta )(y-y_0).$$

复合函数的全微分

若以 $x,y$ 为自变量的函数 $z=f(x,y)$ 可微，则其全微分为

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$$

下面给出一个利用复合函数全微分求偏导数的例子。

例： 设 $z=e^{xy}\sin (x+y)$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ 和 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$。

解：
令

$$z=e^u\sin v,\text{其中 }u=xy,v=x+y.$$

则

$$dz=z_{u}du+z_{v}dv=e^u\sin vdu+e^u\cos vdv.$$

又有

$$du=ydx+xdy,dv=dx+dy.$$

因此，

$$\begin{array}{rl}dz& =e^{xy}\sin (x+y)(ydx+xdy)+e^{xy}\cos (x+y)(dx+dy)\\ & =e^{xy}[(y\sin (x+y)+\cos (x+y))dx+(x\sin (x+y)+\cos (x+y))dy].\end{array}$$

从而得

$$\begin{array}{rl}{z}_x& =e^{xy}[y\sin (x+y)+\cos (x+y)],\\ z_y& =e^{xy}[x\sin (x+y)+\cos (x+y)].\end{array}$$

偏导数

设 $z=f(x,y)$，其中 $(x,y)\in D$。若对于固定 $y=y_0$，函数 $f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，则当

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在时，称该极限为 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 的 偏导数，记作

$$f_x(x_0,y_0)\text{或}\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}.$$

若 $z=f(x,y)$ 在每一点上都存在对 $x$ 或对 $y$ 的偏导数，则可得到相应的偏导函数，记作

$$f_x(x,y)\text{或}\frac{\partial f}{\partial x}.$$

如何求偏导数

1. 将其他自变量视为常数。
2. 对当前自变量作一元函数求导。

复合函数求导（链式法则）

若函数 $x=\phi (s,t),y=\psi (s,t)$ 在点 $(s,t)\in D$ 可微，且 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)=(\phi (s,t),\psi (s,t))$ 处可微，则复合函数 $z=f(\phi (s,t),\psi (s,t))$ 在点 $(s,t)$ 可微，其偏导数为

$$\frac{\partial z}{\partial s}{|}_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial s}{|}_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial s}{|}_{(s,t)},$$$$\frac{\partial z}{\partial t}{|}_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial t}{|}_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial t}{|}_{(s,t)}.$$

一般地，对于 $f(u_1,u_2,\dots ,u_m)$ 且 $u_k=g_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的复合函数，其偏导数为

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum _{k=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial x_i},(i=1,2,\dots ,n).$$

方向导数

定义

设三元函数 $f$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域 $U(P_0)\subset {\mathbb{R}}^3$ 内有定义，令 $l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线，$P(x,y,z)$ 为在 $l$ 上且位于 $U(P_0)$ 内的任一点。记 $\rho$ 为 $P$ 与 $P_0$ 之间的距离，若极限

$$\underset{\rho \to 0^{+}}{lim}\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho }=\underset{\rho \to 0^{+}}{lim}\frac{{\mathrm{\Delta }}_{l}f}{\rho }$$

存在，则称该极限为 $f$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的 方向导数，记作

$$f_t(P_0)\text{或}\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{P_0}.$$

计算公式

方向导数可表示为

$$f_t(P_0)=f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta +f_z(P_0)\cos \gamma ,$$

其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 分别为方向 $l$ 在 $x,y,z$ 轴上的方向余弦，

$$\cos {\theta }_i=\frac{l_i}{|l|}.$$

梯度

定义

若多元函数在某点存在所有自变量的偏导数，则向量

$$\mathbf{grad}f(P_0)=(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))$$

称为函数 $f$ 在点 $P_0$ 的 梯度，其模为

$$|\mathbf{grad}f(P_0)|=\sqrt{f_x(P_0{)}^2+f_y(P_0{)}^2+f_z(P_0{)}^2}.$$

设方向 $l$ 的单位向量为

$$l_0=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma ),$$

则方向导数也可写成

$$f_l(P_0)=\mathbf{grad}f(P_0)\cdot l_0=|\mathbf{grad}f(P_0)|\cos \theta ,$$

其中 $\theta$ 为梯度向量与 $l_0$ 之间的夹角。

高阶偏导数

定义如下：

$$\begin{array}{rl}{f}_{xx}(x,y)& =\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\\ f_{xy}(x,y)& =\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\\ f_{yx}(x,y)& =\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},\\ f_{yy}(x,y)& =\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}.\end{array}$$

定理

若 $f_{xy}(x,y)$ 和 $f_{yx}(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则有

$$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y).$$

复合函数的高阶偏导数

例： 设 $z=f(x,\frac{x}{y})$，求 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ 与 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$。

解：
令

$$u=x,v=\frac{x}{y},\text{则 }z=f(u,v).$$

首先有

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}.$$

进一步，

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}& =\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v})\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v})\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{1}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}+\frac{1}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v\partial u}+\frac{1}{y^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{2}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}+\frac{1}{y^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2},\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}& =\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v})\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial y}+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v})\\ & =-\frac{x}{y^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}-\frac{x}{y^3}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}-\frac{1}{y^2}\frac{\partial f}{\partial v}.\end{array}$$

中值定理

设二元函数 $f$ 在凸开域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上可微，则对任意两点 $P(a,b)$ 与 $Q(a+h,b+k)$ 存在 $0<\theta <1$ 使得

$$f(a+h,b+k)-f(a,b)=h{f}_x(a+\theta h,b+\theta k)+k{f}_y(a+\theta h,b+\theta k).$$

注： 此处中值点在两点连线上，且只有一个 $\theta$。
推论： 若 $f$ 在区域 $D$ 上存在偏导数，且

$$f_x=f_y\equiv 0,$$

则 $f$ 在 $D$ 上为常量函数。

泰勒公式

若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 上具有直到 $n+1$ 阶的连续偏导数，则对 $U(P_0)$ 上任一点 $(x_0+h,y_0+k)$，存在 $\theta \in (0,1)$ 使得

$$\begin{array}{rl}f(x_0+h,y_0+k)=& f(x_0,y_0)+(h{\partial }_x+k{\partial }_y)f(x_0,y_0)\\ & +\frac{1}{2!}(h{\partial }_x+k{\partial }_y{)}^{2}f(x_0,y_0)+\cdots \\ & +\frac{1}{n!}(h{\partial }_x+k{\partial }_y{)}^{n}f(x_0,y_0)\\ & +\frac{1}{(n+1)!}(h{\partial }_x+k{\partial }_y{)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k).\end{array}$$

其中

$$\frac{1}{n!}(h{\partial }_x+k{\partial }_y{)}^{n}f(x_0,y_0)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^i\partial y^{n-i}}(x_0,y_0)h^i{k}^{n-i}.$$

极值问题

• 极值的必要条件：
  若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 存在偏导数，且在 $P_0$ 取得极值，则必有

  $$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0,$$

  此时称 $P_0$ 为 极值点。若满足上述条件但不取极值，则称为 稳定点。

• 极值的充分条件：
  设二元函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且 $P_0$ 为稳定点，则

  • 当 ${\mathbf{H}}_f(P_0)$ 为正定矩阵时，$f$ 在 $P_0$ 取得 极小值；
  • 当 ${\mathbf{H}}_f(P_0)$ 为负定矩阵时，$f$ 在 $P_0$ 取得 极大值；
  • 当 ${\mathbf{H}}_f(P_0)$ 不定时，$f$ 在 $P_0$ 不取极值。

• 黑塞矩阵
  定义为

  $${\mathbf{H}}_f(P_0)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}(P_0)& f_{xy}(P_0)\\ f_{yx}(P_0)& f_{yy}(P_0)\end{array}\right).$$

• 实用判别法：

  1. 当 $f_{xx}(P_0)>0$ 且 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0){]}^2>0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 取极小值；
  2. 当 $f_{xx}(P_0)<0$ 且 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0){]}^2>0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 取极大值；
  3. 当 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0){]}^2<0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 不取极值；
  4. 当 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0){]}^2=0$ 时，无法确定。

隐函数定理

隐函数

定义

设方程

$$F(x,y)=0,x\in I,y\in J,(x,y)\in E\subset {\mathbb{R}}^2.$$

称该方程确定了一个定义在 $I$ 上、值域包含于 $J$ 的 隐函数

$$y=f(x)⟹F(x,f(x))=0.$$

隐函数定理

隐函数存在唯一性定理

若满足以下条件：

1. $F$ 在以 $P_0(x_0,y_0)$ 为内点的某一区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 内连续；
2. $F(x_0,y_0)=0$；
3. $F$ 在 $D$ 上存在连续的偏导数 $F_y(x,y)$；
4. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$；

则在 $P_0$ 的某邻域内存在唯一的隐函数 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0$，且 $f(x)$ 在该邻域内连续。
注： 若将条件 3 和 4 中对 $y$ 的偏导数改为对 $x$ 的偏导数，则结论为存在唯一隐函数 $x=g(y)$。

隐函数可微性定理

对于连续可微函数 $F$，若其对 $y$ 的偏导数在 $P_0$ 处不为零，则在 $P_0$ 的某邻域内存在唯一连续可微的隐函数，且其导数为

$$f^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.$$

对于多元函数 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n,y)$，则有

$$y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n),\text{且}\frac{\partial f}{\partial x_i}=-\frac{F_{x_i}}{F_y},i=1,2,\dots ,n.$$

隐函数求极值

求隐函数的极值时，可先求出使 $f^{\prime }(x)=0$ 的驻点，再利用隐函数的二阶导数求出极值性质。
例如，由 $F_x(x,y)=0$ 可化简得到

$$y^{″}{|}_A=-\frac{F_{xx}}{F_y}{|}_A.$$

隐函数组

定义

对于方程组

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0,\end{array}$$

若在某区域内存在隐函数

$$\{\begin{array}{l}u=f(x,y),\\ v=g(x,y),\end{array}(x,y)\in D,(u,v)\in E,$$

使得在 $D$ 上有

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv 0,\\ G(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv 0,\end{array}$$

则称该方程组确定了二元隐函数组。

雅可比行列式

对 $F,G$ 关于 $u,v$ 求偏导数，构成行列式

$$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|.$$

若 $J\ne 0$，则可从对 $x,y$ 的偏导数方程中解出 $u_x,v_x,u_y,v_y$，这与隐函数唯一存在定理中的条件相同。

隐函数组定理

若

1. $F(x,y,u,v)$ 与 $G(x,y,u,v)$ 在以 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 为内点的区域 $V\subset {\mathbb{R}}^4$ 内连续；
2. $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$；
3. $F$ 与 $G$ 在 $V$ 上具有一阶连续偏导数；
4. 雅可比行列式 $J{|}_{P_0}\ne 0$；

则存在 $Q_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(Q_0)$，在其中存在唯一隐函数组

$$\{\begin{array}{l}u=f(x,y),\\ v=g(x,y),\end{array}$$

满足

$$\begin{array}{rl}& f(x_0,y_0)=u_0,g(x_0,y_0)=v_0,\\ & \text{且当 }(x,y)\in U(Q_0)\text{ 时, }(x,y,f(x,y),g(x,y))\in U(P_0),\\ & F(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv 0,G(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv 0.\end{array}$$

同时，$f(x,y)$ 与 $g(x,y)$ 在 $U(Q_0)$ 上具有连续的一阶偏导数，并满足

$$\begin{array}{rlrl}\frac{\partial u}{\partial x}& =-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)},& \frac{\partial v}{\partial x}& =-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)},\\ \frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)},& \frac{\partial v}{\partial y}& =-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}.\end{array}$$

条件极值

定义

条件极值问题的一般形式为：
在约束条件

$${\phi }_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,k=1,2,\dots ,m(m<n)$$

下，求目标函数

$$y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$

的极值。

使用拉格朗日乘数法求解步骤

1. 构造拉格朗日函数
   引入拉格朗日乘数 ${\lambda }_i$，构造函数

   $$L(x_1,x_2,\dots ,x_n,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{\phi }_i(x_1,x_2,\dots ,x_n).$$

2. 求偏导数
   对每个变量求偏导数，令

   $$\frac{\partial L}{\partial x_i}=0,i=1,2,\dots ,n,\text{以及}\frac{\partial L}{\partial {\lambda }_j}=0,j=1,2,\dots ,m.$$

3. 解方程组
   解上述方程组，得到满足条件的 $(x_1,x_2,\dots ,x_n,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$。

4. 检验极值点
   检验得到的点是否为极值点。

参考文献

• 《数学分析》华东师大第五版（下册）