大学物理（二）

大物二的学习笔记，包含质点力学、光学、电磁、热力学、量子物理基础

质点力学

质点运动的描述

四个物理量

位矢

$$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$$

位移

$$\mathrm{\Delta }\mathbf{r}={\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$$

一般情况下，$|\mathrm{\Delta }\mathbf{r}|\ne \mathrm{\Delta }r,\mathrm{\Delta }s\ge |\mathrm{\Delta }r|$

速度

平均速度、瞬时速度、瞬时速率：

$$\overline{\mathbf{v}}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathbf{r}}{\mathrm{\Delta }t},\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt},v=|\mathbf{v}|=\frac{ds}{dt}$$

加速度

$$\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathbf{v}}{\mathrm{\Delta }t},\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

常见问题

1. 已知 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$，求质点的位置、位移、速度、加速度：求导
2. 已知 $\mathbf{a}=\mathbf{a}(t)$ 和初始条件 $r_0,v_0$，求其速度和运动方程：积分

曲线运动

角坐标 $\theta$，角位移 $\mathrm{\Delta }\theta ={\theta }_2-{\theta }_1$

角速度

$$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{dt}$$

角加速度

$$\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$$

线量和角量的关系

$$v=R\omega ,a_t=R\alpha ,a_n=\frac{v^2}{R}=R{\omega }^2,\mathrm{\Delta }s=R\cdot \mathrm{\Delta }\theta$$

牛顿定律

第一定律

任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直至其他物体对它施加力的作用迫使它改变这种状态为止。

第二定律

$$\mathbf{F}=\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}=m\mathbf{a}$$

第三定律

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

常见的力

• 万有引力：$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
• 弹力：$F=-kx$
• 摩擦力：$F_f=\mu f_N$

动量和冲量

$$\mathbf{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}dt=m{\mathbf{v}}_2-m{\mathbf{v}}_1$$

• 动量守恒定律

质点系的动量定理

作用在系统上合外力的冲量等于这段时间内质点系动量的增量：

$$\mathbf{I}={\int }_{t_1}^{t_2}{\mathbf{F}}_{\text{ex}}dt=\mathbf{p}-{\mathbf{p}}_0$$

功和能

$$dW=\mathbf{F}d\mathbf{r},E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$$

质点的动能定理

$$W=E_{k_2}-E_{k_1}$$

质点系的动能定理

$$W_{\text{ex}}+W_{\text{in}}=E_{k_2}-E_{k_1}$$

角动量

质点的角动量

力矩

$$\mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

质点的角动量

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$$

质点的角动量定理

$${\int }_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}dt={\mathbf{L}}_2-{\mathbf{L}}_1$$

这说明，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。

质点的角动量守恒定律

如果质点所受的外力矩为零，则质点的角动量保持不变。

刚体定轴转动的角动量

刚体定轴转动的角动量

$$J=\int r^{2}dm,L=J\omega$$

刚体定轴转动的角动量定理

$$M=\frac{dL}{dt}$$

这说明刚体定轴转动时，力矩等于角动量的变化率。

刚体定轴转动的角动量守恒定律

$$L=J\omega =C$$

这说明，若物体受到的合外力矩为零，则角动量保持不变。

光学

干涉

光源

• 普通光源的发光是原子/分子的自发辐射，前后两次辐射彼此独立。
• 同一时刻 各个分子/原子发出的光、同一分子/原子 在不同时刻发出的光振动方向、频率、相位 各不相同。

相干光

相干条件

• 频率相同
• 振动方向相同
• 在相遇点上相位保持恒定

获得相干光

• 分波阵面法：双缝干涉
• 分振幅法：薄膜干涉

半波损失

当光从折射率较小的介质（光疏介质）射向折射率较大的介质（光密介质）时，在掠射（入射角 $\approx 0$ 或 $\pi /2$）的情况下，反射光的相位较之入射光的相位突变了 $\pi$，导致反射光加了半个波长的波程差。

这种情况称为 半波损失。

干涉现象

光程、光程差、相位差

光程差 $\mathrm{\Delta }$ 与相位差 $\mathrm{\Delta }\phi$ 的关系：

$$\mathrm{\Delta }\phi =\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }$$

明暗条纹

$$\mathrm{\Delta }=\{\begin{array}{ll}\pm k\lambda ,& k=0,1,2,\dots \text{明纹中心},\\ \pm (2k+1)\frac{\lambda }{2},& k=0,1,2,\dots \text{暗纹中心}.\end{array}$$

双缝干涉

$$\mathrm{\Delta }=\frac{d}{D}x$$

其中 $d$ 为双缝之间的距离，$D$ 为双缝与光屏的距离，$x$ 为相遇位置与光屏中心的距离。

薄膜干涉

$$\mathrm{\Delta }=2nd(+\frac{\lambda }{2})$$

其中 $n$ 为薄膜的折射率，$d$ 为薄膜厚度，是否要加上 $\frac{\lambda }{2}$ 取决于是否存在半波损失。

• 劈尖：$$\mathrm{\Delta }d=\frac{\lambda }{2n},\mathrm{\Delta }b=\frac{\lambda }{2n\sin \theta }\approx \frac{\lambda }{2n\theta }$$

增反膜、增透膜

• 增反膜： 反射光干涉加强
• 增透膜： 反射光干涉减弱

衍射

夫琅禾费单缝衍射

• 明暗条纹：

  $$b\sin \theta =\{\begin{array}{ll}\pm k\lambda ,& \text{暗纹中心},\\ \pm (2k+1)\frac{\lambda }{2},& \text{明纹中心},\end{array}k=1,2,\dots$$$$-\lambda <b\sin \theta <\lambda$$

  其中 $b$ 为单缝的宽度，$\theta$ 为衍射角。

• 中央明纹宽度（$-1,+1$ 级次暗纹中心间距）：

  $$\mathrm{\Delta }{x}_0=\frac{2\lambda f}{b}$$

• 其他明纹宽度：

  $$\mathrm{\Delta }x=\frac{\lambda f}{b}$$

• 屏上某点到屏中心距离：

  $$x=f\tan \theta \approx f\sin \theta$$

光栅衍射

光栅衍射是 单缝衍射和多缝干涉的总效果，特点是明纹 细而亮，相邻明纹间有很宽的暗区。

光栅方程

$$(b+b^{\prime })\sin \theta =\pm k\lambda ,k=0,1,2,\dots$$

其中 $b$ 为缝宽度，$b^{\prime }$ 为缝间距，$\theta$ 为衍射角。

缺级条件

衍射光之间发生干涉，部分明纹会因为干涉减弱而缺级：

$$k=\frac{b+b^{\prime }}{b}{k}^{\prime },k^{\prime }=1,2,\dots$$

其中 $k$ 为缺失条纹的级数。

偏振

偏振光

• 自然光： 每个方向均具有光矢量的光。
• 部分偏振光： 多个方向具有光矢量的偏振光。
• 完全偏振光： 仅有一个方向存在光矢量的偏振光。

自然光一般来自阳光、灯光等，偏振光一般有反射光（部分偏振）、激光（高度线偏振）、液晶显示屏光、经过偏振片的光等。

马吕斯定律

$$I=I_0{\cos }^2\theta$$

其中 $I_0$ 为初始光强。

• 当光源为自然光时：$$I=\frac{1}{2}{I}_0$$

布儒斯特定律

当

$$\tan i_B=\frac{n_2}{n_1}$$

时，反射光为完全偏振光，且偏振化方向与入射面垂直。

$i_B$ 称为布儒斯特角。

电与磁

静电场

库仑定律

$$\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{q_1{q}_2}{r^2}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$$

其中 $\mathbf{F}$ 表示库仑力向量，${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$ 为方向向量。

电场强度

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q_0}$$

其中 $q_0$ 为试探电荷的带电量。

电场强度通量与高斯定理

电场强度通量

$${\mathrm{\Phi }}_e={\int }_S\mathbf{E}\cdot dS$$

• 对于两块互相平行的“无限大”的均匀带电平板，
  • 两板上自由电荷面密度分别为 $+{\sigma }_0,-{\sigma }_0$；
  • 当两板间为真空时：$$E_0=\frac{{\sigma }_0}{{ϵ}_0}$$

高斯定理

$$\oint {ϵ}_0\mathbf{E}\cdot dS=\sum _i{q}_i^{(in)}$$

• 高斯定理说明：
  • 通过高斯面的电场强度通量乘以真空电容率，等于高斯面内所有电荷之和。
  • 高斯面要求为封闭曲面。

电势

定义式

$$V_A={\int }_A^{\text{零势能点}}\mathbf{E}dl$$

点电荷的电势

$$V=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r},V_{\mathrm{\infty }}=0$$

电势能

$$W=q{\int }_A^B\mathbf{E}dl=-(E_{p_2}-E_{p_1})$$

环路定理

$${\oint }_l\mathbf{E}dl=0$$

• 说明：静电场是保守力场。

静电平衡

• 导体内部场强处处为零；
• 导体是一个等势体；
• 导体表面的场强与表面垂直。

注意：导体内部场强为零，但电荷不一定为零。

电介质

$$E=E_0-E^{\prime }=\frac{1}{{ϵ}_r}{E}_0$$

• 其中 ${ϵ}_r({ϵ}_r>1)$ 为 相对电容率；
• ${ϵ}_0{ϵ}_r$ 为电介质的电容率。

对于极化电荷面密度：

$$\begin{gathered} E_0=\frac{{\sigma }_0}{{ϵ}_0},E^{\prime }=\frac{{\sigma }^{\prime }}{{ϵ}_0} \\ \therefore {\sigma }^{\prime }=(1-\frac{1}{{ϵ}_r}){\sigma }_0 \end{gathered}$$

存在电介质时的高斯定理

$$\mathbf{D}=ϵ\mathbf{E}={ϵ}_0{ϵ}_r\mathbf{E},{\oint }_S\mathbf{D}\cdot dS=\sum _i{q}_i^{(in)}$$

恒定磁场

磁感应强度

$$B=\frac{F_{\perp }}{qv}$$

• $q$ 表示试探电荷的带电量；
• $F_{\perp }$ 表示试探电荷垂直磁场方向运动时受到的力。

磁通量

$$\mathrm{\Phi }={\int }_{S}BS\cos \theta$$

• $\theta$ 为磁感应强度与平面法线的夹角。

磁场中的高斯定理

$${\oint }_S\mathbf{B}dS=0$$

• 说明：磁场是无源场，磁感线是无头无尾的闭合曲线。

毕奥-萨伐尔定律

对于电流元 $Id\mathbf{l}$ 在任一点 $P$ 所激发的磁感应强度 $dB$：

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times {\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}}{r^2}$$

• ${\mu }_0$ 为真空磁导率；
• $\mathbf{r}$ 为矢量，方向为电流元位置指向点 $P$ 位置。

$dB$ 的方向由右手定则确定。

常用公式

• 有限长直导线电流：

  $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$$

• 无限长直导线电流：

  $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

• 半无限长直导线电流：

  $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}$$
  • 直导线延长线上的磁感应强度为 $0$。

• 圆形电流：

  • 轴线上 $P$ 点：$$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$$
  • 圆心处：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$$
  • 一段圆弧电流在圆心处的磁感应强度：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\cdot \frac{\theta }{2\pi }$$

安培环路定理

$$\frac{1}{{\mu }_0}{\oint }_L\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\sum _i{I}_i$$

• 说明：磁感应强度的环量除以真空磁导率等于其包围的电流总和。

磁介质

分类

• 顺磁质：${\mu }_r\ge 1$；
• 抗磁质：${\mu }_r\le 1$；
• 铁磁质：${\mu }_r\gg 1$。

磁介质中的安培环路定理

$${\oint }_L\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\sum _i{I}_i,\mathbf{B}={\mu }_0{\mu }_r\mathbf{H}=\mu \mathbf{H}$$

• ${\mu }_r$ 为 相对磁导率；
• $\mu$ 为磁介质的磁导率；
• $\mathbf{H}$ 为 磁场强度。

电磁场

电动势

$$\mathcal{E}=\int {\mathbf{E}}_{\mathbf{k}}\cdot d\mathbf{l}$$

• ${\mathbf{E}}_{\mathbf{k}}$ 为非静电场强。

楞次定律

$$\mathcal{E}=-\frac{Nd\mathrm{\Phi }}{dt}$$

• 负号表示方向；
• $N$ 为匝数。

热力学

气体动理论

理想气体状态方程

$$\begin{array}{rl}pV& =\frac{m}{M}RT,\\ p& =nkT,k=\frac{N}{V}\end{array}$$

理想气体压强

$$\begin{array}{rl}p& =\frac{1}{3}n{m}_0\overline{v^2}=\frac{2}{3}n\overline{{ϵ}_k},\\ \overline{{ϵ}_k}& =\frac{1}{2}{m}_0{v}^2=\frac{3}{2}kT\end{array}$$

$n$ 为分子数量，$m_0$ 为单个分子质量，$\overline{{ϵ}_k}$ 为分子平均平动动能。

能量均分定理理想气体内能

自由度

单原子分子自由度为 $3$，双原子分子为 $5$，多原子分子为 $6$。

$$\begin{array}{r}\text{对于自由度为 }i\text{ 的分子：}\\ \overline{ϵ}& =\frac{i}{2}kT,\\ \text{理想气体的内能：}E& =\frac{m}{M}\cdot \frac{i}{2}RT\end{array}$$

注意： 能量均分定理是对大量分子的 统计平均结果，即在 某一瞬时，每个自由度上的能量和总能量可能与能量均分定理所确定的平均值 有很大的差别。

气体分子热运动的速率分布

$$\begin{array}{rl}\text{速率分布函数的定义：}f(v)& =\frac{dN}{Ndv},\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(v)dv& =1,\\ \text{速率在 }{v}_1\sim v_2\text{ 区间内的分子平均速率：}\overline{v}& =\frac{{\int }_{v_1}^{v_2}vf(v)dv}{{\int }_{v_1}^{v_2}f(v)dv},\\ \text{最大概然速率：}{v}_p& =\sqrt{\frac{2RT}{M}},\\ \text{平均速率：}\overline{v}& =\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},\\ \text{方均根速率：}\sqrt{\overline{v^2}}& =\sqrt{\frac{3RT}{M}}\end{array}$$

热力学基础

摩尔热容

$$\begin{array}{rl}{C}_{V,m}& =\frac{i}{2}R,\\ C_{p,m}& =\frac{i+2}{2}R,\\ \gamma & =\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}\end{array}$$

热力学第一定律

$$\begin{array}{rl}Q& =\mathrm{\Delta }E+W,\\ \mathrm{\Delta }E& =\frac{m}{M}\frac{i}{2}R\mathrm{\Delta }T,\\ Q& =\frac{m}{M}{C}_m\mathrm{\Delta }T\end{array}$$

• 等压升温吸热比等体多，因为等压升温时体积膨胀，对外做功，需要额外的热量。

等体过程

$$Q=\mathrm{\Delta }E=\frac{m}{M}\frac{i}{2}R\mathrm{\Delta }T$$

等温过程

$$Q=\mathrm{\Delta }E+W=W=\int pdv=\frac{m}{M}RT\ln \frac{v_2}{v_1}=\frac{m}{M}RT\ln \frac{p_1}{p_2}$$

绝热过程

$$\begin{array}{rl}p{V}^{\gamma }& =C,\gamma =\frac{i+2}{i},\\ Q& =0,\\ W& =\frac{i}{2}(p_1{V}_1-p_2{V}_2)\end{array}$$

卡诺循环热机效率

$$\begin{array}{rl}\eta & =\frac{W}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1},\\ {\eta }_{\text{卡}}& =1-\frac{T_2}{T_1}\end{array}$$

$Q_1$ 是从高温热源吸收的能量，$Q_2$ 是向低温热源放出的能量。

$T_1$ 是高温热源的温度，$T_2$ 是低温热源的温度。

量子物理基础

黑体辐射与普朗克能量子假设

黑体与黑体辐射

• 单色辐出度：$M_{\lambda }(T)$
• 辐出度：$$\begin{array}{rl}& \text{斯特藩-玻尔兹曼定律：}M(T)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{M}_{\lambda }(T)d\lambda =\sigma T^4,\\ & \text{维恩位移定律：}{\lambda }_{m}T=b\end{array}$$

经典公式及其困难

• 维恩公式：长波部分相差较大
• 瑞利-金斯公式：短波部分荒谬，“紫外灾难”

普朗克能量子假设

$$\begin{gathered} ϵ=h\nu \\ {M}_{\lambda }(T)=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\cdot \frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1} \end{gathered}$$

光电效应与光子理论

光电效应

1. 饱和电流

   • 加速电压增加，光电流逐渐达到饱和值
   • 入射光强度越大，饱和电流越大
     $⟺$ 单位时间内逸出的光电子数目与入射光强度成正比

2. 最大初动能与遏止电压

   $$\begin{gathered} \frac{1}{2}m{v}_m^2=e{U}_0 \\ {v}_m\text{为最大初速度，}{U}_0\text{为遏止电压} \end{gathered}$$

3. 截止频率（红限）

   • 入射光频率低于 ${\nu }_0$ 时，无论入射光强度如何，均无光电子逸出
   • 不同金属 ${\nu }_0$ 不同

4. 弛豫时间

   • 光照开始到光电子逸出，弛豫时间不超过 ${10}^{-9}\text{s}$

波动理论的困难

• 初动能与光强无关
• 截止频率现象
• 逸出能量无需积累

光子理论

$$\begin{gathered} h\nu =\frac{1}{2}m{v}^2+W \\ W=h{\nu }_0 \\ e{U}_0=h\nu -h{\nu }_0 \end{gathered}$$

光的波粒二象性

$$\begin{gathered} E=m{c}^2=h\nu \\ p=mc=\frac{h\nu }{c}=\frac{h}{\lambda } \end{gathered}$$

康普顿效应

现象

散射 $X$ 射线中除与入射波长相同的射线外，还有波长大于原波长的射线。

光子理论的解释

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }\lambda =2{\lambda }_c{\sin }^2\frac{\theta }{2}, \\ {\lambda }_c=\frac{h}{mc}=0.0024\text{nm} \end{gathered}$$

• 当光子与束缚较弱的电子碰撞，能量传递使光子波长变长。
• 光子与紧束缚电子或整个原子碰撞时，波长基本不变。

德布罗意波

$$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$$

一切微观粒子都具有波粒二象性。

玻尔氢原子理论

里德伯公式

$$\begin{gathered} \frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2}), \\ k=1,2,3,\dots ,n=k+1,k+2,\dots \end{gathered}$$

• $R$ 为里德伯常量。
• 由此可得氢原子光谱的线系。

玻尔氢原子理论

假设

1. 定态假设：
   原子在某些能量状态下电子绕核做圆周运动而不辐射电磁波。

2. 量子化条件：详见“角动量量子化”。

3. 频率条件：详见“跃迁条件”。

跃迁条件

$$h\nu =E_n-E_m$$

角动量量子化

$$L=\frac{nh}{2\pi }=n\hslash ,n\text{称为主量子数}$$

能级公式与轨道半径公式

$$\begin{array}{rl}& \text{能级：}{E}_n=\frac{E_1}{n^2},n=1,2,3,\dots \\ & \text{轨道半径：}{r}_n=n^2{r}_1,n=1,2,3,\dots \\ & \text{基态能量：}{E}_1=-13.6\text{eV}\\ & \text{玻尔半径：}{r}_1=0.053\text{nm}\end{array}$$

不确定性关系

$$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p=\mathrm{\Delta }x\cdot m\mathrm{\Delta }v\ge \frac{\hslash }{2}$$

• 例如电子通过狭缝时，无法确定其从缝中哪一点通过。

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一些常量

• $h=6.63\times {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$
• $m_e=9.11\times {10}^{-31}\text{kg}$
• $e=1.6\times {10}^{-19}\text{C}$
• $E_1=-13.6\text{eV}$
• $a_0=5.29\times {10}^{-11}\text{m}$